Una expresión algebraica de la forma an se llama una potencia. En una potencia el número representado por a recibe el nombre de base, mientras que aquel representado por n se llama el exponente. Si n es un número entero, entonces se dice que an es la enésima potencia de a.
Una expresión algebraica de la forma 
se llama radical. Si n es un número entero, entonces se dice que es la enésima raíz de a y representa un número b tal que bn = a, es decir, = b, si y solamente si, bn = a.
La definición precisa de estas expresiones algebraicas según los distintos valores que pueden tomar sus variables se explica a continuación.
Exponentes positivos enteros
Sea a un número real cualquiera y n un número natural la expresión algebraica an se define de la siguiente manera:
A partir de esa definición se puede deducir sin dificultad el siguiente resultado.
Teorema
Si m y n son números naturales y a un número real cualquiera, entonces:
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Una consecuencia importante de este teorema es el siguiente corolario mediante el cual se establece la manera de dividir una potencia de un número por otra potencia del mismo número:
Corolario
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Estos resultados son ciertos incluso si los exponentes m y n no son números naturales sino cualquier otra pareja de números reales. Ellos abarcan completamente los casos en que se multiplican o dividen potencias del mismo número real. Los siguientes teoremas hacen lo propio cuando una potencia se eleva a otra, o cuando el producto de dos números se eleva a una potencia cualquiera.
Teorema. Si m y n son números naturales y a es un número real cualquiera, entonces:
Teorema. Si n es un número entero positivo y a y b números reales cualesquiera, entonces:
El exponente cero
Para definir lo que significa un exponente cero basta observar que si n es un número natural y a un número real distinto de cero, entonces:
Como a no es igual a cero ( y por lo tanto, an tampoco), entonces la única posibilidad para que esto sea cierto es que:
Los exponentes negativos
Una observación similar a la anterior permite definir los exponentes negativos: si n es un número natural y a un número real distinto de cero, entonces:
an x a-n = a-n x an = a-nxn = a0 = 1
Esto significa que a-n es el inverso multiplicativo de an, es decir:
Los exponentes fraccionarios
Finalmente se verá lo que ocurre cuando los exponentes son números fraccionarios. Sea a un número real positivo y n un número natural. El símbolo
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y se define como aquel número positivo que elevado a la potencia n da como resultado el número a. Esto significa que:
De esta definición se desprende lo que significa un exponente de la forma 
, donde m y n son números naturales. En efecto:
y representa la potencia m del número .
Esto es equivalente a decir que:
De las anteriores definiciones de los exponentes y radicales se pueden deducir las siguientes propiedades generales, que son válidas para cualesquiera números reales a, b, p y q, salvo las excepciones indicadas:
I. ap x aq = ap+q
II. (ap)q = (aq)p = apq
III. (ab)p = ap x bp = abbp
IV. a0 = 1 si a ≠ 0
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